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Clasificación proyectiva y afín de las cónicas y cuádricas reales

La principal propuesta de este apartado es utilizar la teoría del apartado 2 del capítulo anterior para dar una clasificación de las cónicas y de las cuádricas proyectivas. Y más tarde hacer una clasificación más exhaustiva en el caso de trabajar sobre un espacio afín.

Definición 4.1   El rango de una forma cuadrática sobre un espacio $n$-dimensional viene dado por la ecuación:

rango=$n$-nulidad

 

Podemos a partir del ejercicio 3.9 del tema 5 considerar el índice menor o igual que $[n+1/2]$ (la parte entera de la mitad de la dimensión más 1). A partir, pues, del rango y el índice podemos clasificar las cónicas y las cuádricas.

Ejercicio 4.2 (05)   Sabiendo que en el plano proyectivo el rango varía de 1 a 3 y que el índice solo toma valores 0 ó 1, demostrar que existen 5 clases de cónicas distintas en el plano proyectivo.

Ejercicio 4.3 (05)   Dar una matriz representativa para cada una de las cinco clases anteriores.

Ejercicio 4.4 (05)   Sabiendo que en el espacio 3-dimensional, el rango varía de 1 a 4 y el índice puede tomar valores de 0 a 2, probar que existen 8 clases distintas de cuádricas.

Ejercicio 4.5 (10)   Dar una matriz representativa para cada una de las posibles clases de cuádricas.

En cuanto al estudio afín, basta tener en cuenta como se hizo con la elipse, la parábola y la hipérbola, que tipo de hipercuádrica 0-dimensional aparece en la recta del infinito, o en el caso de cuádricas que tipo de cónica aparece en el plano del infinito cuando intersecamos la cuádrica proyectiva con el plano del infinito.

Ejercicio 4.6 (20)   Probar que existen 10 tipos de cónicas afines y 17 tipos de cuádricas afines.

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