Próximo: Sobre este documento ... Arriba: La Geometría Proyectiva de Anterior: Cónicas reales sobre el

El modelo de Cayley-Klein para la geometría hiperbólica

Sea $\mathcal C\subset\mathbb{R}P^2$ una cónica no degenerada y sea $G_{\mathcal C}\subset PGL(3,\mathbb{R})$el subgrupo de transformaciones proyectivas que dejan la cónica invariante. El objetivo de los próximos cuatro ejercicios es probar el siguiente resultado:

Teorema 5.1   El grupo $G_{\mathcal C}$actúa transitivamente sobre el interior y el exterior de la cónica $\mathcal C$.

Por los resultados de la sección anterior, basta considerar el caso donde la cónica en coordenadas homogéneas está dada por la ecuación $x^2+y^2-z^2=0$.

La estrategia de la prueba es encontrar una clase grande de transformaciones lineales explícitas sobre $\mathbb{R}^3$que conservan el cono $x^2+y^2-z^2=0$, y demostrar que usando esta clase de transformaciones es posible llevar una recta que pasa por el origen y está en el interior (resp. exterior) del cono a cualquier otra recta que pasa por el origen y está en el interior (resp. exterior) del cono.

Ejercicio 5.1 (-05)   Definimos las funciones hiperbólicas

$$\cosh(t):=\frac{e^t+e^{-t}}{2},~~~~\sinh (t):=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$$

Probar que

1.    $\cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1$,

2.    $\cosh(t+s)=\cosh(t)\cosh(s)+\sinh(t)\sinh(s)$,

3.    $\sinh(t+s)=\cosh(t)\sinh(s)+\sinh(t)\cosh(s)$,

4.    La función $\tanh(t):=\sinh(t)/\cosh(t)$es una biyección entre la recta real y el intervalo $(-1,1)$.

Si $\theta$y $t$son números reales, definimos

$$R_\theta:= \left ( \begin{array}{ccc} \cos(\theta) & \sin(\theta)... ... 0 & \cosh(t) & \sinh(t) \\ 0 & \sinh(t) & \cosh(t) \\ \end{array}\right ).$$

Ejercicio 5.2 (05)   Probar que

1.    $R_\theta,H_t\in G_{\mathcal C}$.

2.    $R_{\theta+\Phi}=R_\theta R_\Phi$ y $H_{t+s}=H_tH_s$.

Ejercicio 5.3 (05)   Probar que si $y$ pertenece al intervalo $(-1,1)$, existe un número $t$tal que $H_t$ aplica el vector $(0,0,1)$en un múltiplo no nulo del vector $(0,y,1)$. Concluir que si $y,y'\in(-1,1)$, entonces existe un número $s$ tal que $H_s$ aplica el vector $(0,y,1)$ en un múltiplo no nulo del vector $(0,y',1)$.

El ejercicio anterior implica fácilmente que $G_{\mathcal C}$ actúa transitivamente sobre el interior de $\mathcal C$. En efecto, si $L_1$ y $L_2$ son dos rectas de que pasan por el origen y dentro del cono $x^2+y^2-z^2=0$, entonces existen rotaciones $R_\theta$y $R_\Phi$tal que $R_\theta(L_1)$ y $R_\Phi(L_2)$están sobre el plano $x=0$. Por el ejercicio anterior, existe una transformación $H_t$ tal que $H_t(R_\theta(L_1))=R_\Phi(L_2)$. Se sigue que $R_{-\Phi}(H_t(R_\theta(L_1)))=L_2$, y con esto obtenemos el resultado.

Ejercicio 5.4 (10)   Usar las mismas técnicas que antes para demostrar que $G_{\mathcal C}$actúa transitivamente sobre el exterior de $\mathcal C$.

Ahora pasamos al estudio de la acción de $G_{\mathcal C}$sobre el interior de $\mathcal C$, que de ahora en adelante denotaremos como $\mathcal D$. El primer comentario sobre esta acción es que la acción no es doblemente transitiva: es, en el general, imposible transformar un par de puntos distintos $X,Y\in\mathcal D$ en un par de puntos prefijados $X',Y'$. Como antes, basta considerar el caso donde la cónica es una circunferencia.

Si $X$e $Y$son dos puntos distintos de $\mathcal D$, dibujamos la recta que los une y cortamos con la circunferencia para obtener dos puntos $A$ y $B$. Escogemos la notación tal que $X$pertenece al trozo de segmento $AY$, e $Y$pertenece al trozo de segmento $BX$(fig 9). Ahora definimos $\rho(X,Y):=[A,B,Y,X]$. Nótese que hemos escogido este orden (siguiendo la definición anterior de $A$y $B$) para que esta razón doble sea mayor que uno. Si $X=Y$, definimos $\rho(X,Y)$igual a uno.

figura 9

Ejercicio 5.5 (15)   Sean $X,Y,X',Y'$ cuatro puntos sobre $\mathcal D$. Demostrar existe una aplicación $T\in G_{\mathcal C}$ que lleva $X$a $X'$e $Y$a $Y'$si y sólo si $\rho(X,Y)=\rho(X',Y')$.

Si $X$e $Y$son dos puntos en $\mathcal D$, definimos $d(X,Y):=\ln(\rho(X,Y))$. El resto de esta sección se dedica a probar que $d$ es una función distancia y que sus geodésicas son las rectas.

Ejercicio 5.6   Probar que

1.    $d(X,Y)>0$ y se da la igualdad si y sólo si $X=Y$.

2.    $d(X,Y)=d(Y,X)$.

3.    Si $X,Y,Z$ son tres puntos colineales, con $Y$perteneciente al segmento que une $X$ y $Z$, entonces $d(X,Z)=d(X,Y)+d(Y,Z)$.

Para probar que $d$ es una función distancia, sólo queda comprobar la desigualdad triangular para tres puntos no colineales $X,Y,Z\in\mathcal D$(fig 10). Como el logaritmo es una función creciente, todo lo que debemos hacer es probar que $\rho(X,Z)<\rho(X,Y)\rho(Y,Z)$, donde estas cantidades son

$$\rho(X,Y)=\frac{\vert X-B\vert\vert Y-A\vert}{\vert X-A\vert\vert... ...\rho(X,Z)=\frac{\vert X-F\vert\vert Z-E\vert}{\vert X-E\vert\vert Z-F\vert},~~$$

figuras 10 y 11

 

Usando la figura 11 y la invarianza de la razón doble bajo perspectividades, tenemos que

$$\rho(X,Y)=\frac{\vert X-R\vert\vert Q-P\vert}{\vert X-P\vert\vert... ...~ \rho(Y,Z)=\frac{\vert Q-R\vert\vert Z-P\vert}{\vert Q-P\vert\vert Z-R\vert}.$$

Por lo tanto,

$$\rho(X,Y)\rho(Y,Z)=\frac{\vert X-R\vert\vert Z-P\vert}{\vert X-P\vert\vert\vert Z-R\vert}.$$

Ejercicio 5.7   Terminar la prueba de la desigualdad triangular demostrando que

$$\frac{\vert X-R\vert\vert Z-P\vert}{\vert X-P\vert\vert Z-R\vert}>\frac{\vert X-F\vert\vert Z-E\vert}{\vert X-E\vert\vert Z-F\vert}.$$

El disco $\mathcal D$ junto con la distancia $d$ se llama el plano hiperbólico.

Definición 5.2   Sea $(M,d)$ un espacio métrico y sea $\gamma\colon[a,b]\rightarrow M$ una curva continua. Definimos la longitud de $\gamma$como

$$\sup\{\sum_{i=0}^{n-1}d(\gamma(t_i),\gamma(t_{i+1}))\colon a=t_0<\cdots <t_n=b~~$$es una partición de $$[a,b]\}$$

La curva $\gamma$se llama un segmento geodésico si su longitud es igual a la distancia entre sus puntos finales.

Ejercicio 5.8 (10)   Probar que cualquier segmento de recta sobre $\mathcal D$ es un segmento geodésico para la distancia $d$.

Próximo: Sobre este documento ... Arriba: La Geometría Proyectiva de Anterior: Cónicas reales sobre el