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Ecuaciones de las Variedades Afines

Ejercicio 4.1   Sea $L=A+W$ una subvariedad de ${\mathcal{A}}(V_n)$ con $dim(L)=r$. Sea $R_A=\{O;u_1,\dots ,u_n\}$ un sistema de referencia de ${\mathcal{A}}(V)$, sean  $(a_1,\dots ,a_n)$ las coordenadas de un punto $A$ respecto a $R$, sea $B_W=\{v_1,v_2,\dots ,v_r\}$ una base de $W$. Probar que un punto $X=(x_1,x_2,\dots ,x_n)_R$ está en $L$ si y sólo si cumple las siguientes ecuaciones paramétricas:

$$\begin{array}{rcl} x_1&=& a_1+\lambda_1\alpha_{11}+\lambda_2... ...lambda_2\alpha_{2n}+\dots +\lambda_r\alpha_{rn} \\ \end{array}$$

Donde $v_i=\sum_{j=1}^n\alpha_{ij}u_j$.

$$\left ( \begin{array}{ccccc} \alpha_{11} & \alpha_{21} & \dots & ... ... \alpha_{1n} & \alpha_{2n} & \dots & \alpha_{rn} & x_n-a_n \end{array}\right )$$$$\left ( \begin{array}{cccc} \alpha_{11} & \alpha_{21} & \dots & \... ...vdots \\ \alpha_{1n} & \alpha_{2n} & \dots & \alpha_{rn} \end{array}\right ) =$$Puesto que $dim(W)=r$ se tiene que las ecuaciones paramétricas constituyen un sistema de $n$ ecuaciones con $r$ incognitas que son los $\lambda_i$. Para que el sistema tenga solución utilizando el teorema de Frobenius se ha de cumplir que:

 

$$(W)=r=$$  rango                                              dim                   rango

 

Los determinantes de orden $r+1$ tienen que ser nulos, luego

	$$\left \vert \begin{array}{ccccc} \alpha_{11} & \alpha_{21} & \dot... ...a_{1n} & \alpha_{2n} & \dots & \alpha_{rn} & x_n-a_n \end{array}\right \vert=0$$

 

 

 

 

 

 

Definición 4.2   Los $n-r$ determinantes nulos anteriores son las ecuaciones cartesianas de $L$.

Observaciones

1.    Número de ecuaciones cartesianas = $dim({\mathcal{A}}(V))-dim(L)$.

2. $dim(L)=n-1$Si $L$ es un hiperplano, (                           ) aparece una única ecuación cartesiana. Así pues, una variedad de dimensión $r$puede verse como corte de $n-r$ hiperplanos.

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