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Espacios Afines de Dimensión Finita.

Definición 3.1   Sea ${\mathcal{A}}(V_n)$. Se llama sistema de referencia cartesiano o afín de ${\mathcal{A}}$ a todo par $\{O;B_V\}$donde $O\in {\mathcal{A}}$ y $B_V$ es una base de $V_n$.

 

Definición 3.2   Dado un sistema de referencia $R_{\mathcal{A}}=\{O;v_1,\dots v_n\}$ y dado $X\in {\mathcal{A}}$, tenemos $\varphi(O,X)\in V_n$ y por tanto $\varphi(O,X)=x_1v_1+x_2v_2+\dots +x_nv_n$. A $(x_1,x_2,\dots ,x_n)_R$ se le llaman coordenadas cartesianas o afines del punto $X$ respecto del sistema de referencia $R_{\mathcal{A}}$.

 

Ejercicio 3.3 (Cambio de sistema de referencia cartesiano).

Sean $R_{\mathcal{A}}=\{O;v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ y $R'_{\mathcal{A}}=\{O',u_1,u_2\dots u_n\}$ dos sistemas de referencias cartesianas y sean $X=(x_1,x_2,\dots ,x_n)_R= (x'_1,x'_2,\dots ,x'_n)_{R'}$ las coordenadas de un punto $X\in {\mathcal{A}}$ respecto de ambos sistemas de referencia. Probar que se tiene la siguiente igualdad:

$(1,x_1,x_2,\dots ,x_n)=(1,x'_1,x'_2,\dots ,x'_n) \left ( \begin{array}{ccccc} ... ...\vdots & & \vdots \\ 0 & a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right )$

Donde $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ son las coordenadas de $O'$ en el sistema de referencia $R$ y $u_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}v_j$.

Definición 3.4   Sean $A_0,A_1,\dots ,A_r$ $r+1$ puntos de ${\mathcal{A}}(V)$. Se dice que son afinmente independientes si los vectores  $\varphi(A_0,A_1)$, $\varphi(A_0,A_2)$, ... , $\varphi(A_0,A_r)$ son linealmente independientes.

 

Ejercicio 3.5   Probar que por $r+1$ puntos afinmente independientes, $A_0,A_1,\dots ,A_r$, pasa una única variedad $W$ de dimensión $r$. Definida por: $L=A_0+<\varphi(A_0,A_1),\varphi(A_0,A_2),\dots ,\varphi(A_0,A_r)>$.

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