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Aplicaciones Afines.

Definición 2.1   Sean $V$ y $V'$ espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $K$. $A(V)$ y ${\mathcal{A}}'(V')$espacios afines con aplicaciones  $\varphi :{\mathcal{A}}\times {\mathcal{A}} \rightarrow V$ y $\varphi ':{\mathcal{A}}'\times {\mathcal{A}}'\rightarrow V'$ respectivamente. Una aplicación $f:A\rightarrow A'$ se dice afín si la aplicación $\hat f:V\rightarrow V'$definida por $\hat f(\varphi(A,B))=\varphi '(f(A),f(B))$,  $\forall A,B\in A(V)$ es lineal.

Al homomorfismo $\hat f$se le llama aplicación lineal asociada a la aplicación afín $f$.

Definición 2.2   Sean $A,B,C\in {\mathcal{A}}(V)$ distintos dos a dos y tal que  $\varphi(A,B)=\lambda\varphi(A,C)$ con $\lambda \in K$. A este $\lambda$ se le llama razón simple de $A,B$ y $C$ y se representa por $(A,B,C)=\lambda$.

 

Ejercicio 2.3   Sea $f:A(V):\rightarrow {\mathcal{A}}'(V')$ aplicación afín y $\hat f:V\rightarrow V'$ aplicación lineal asociada, probar que:

1.    Si $L$ es una variedad afín de ${\mathcal{A}}(V)$ con dirección $W$, entonces $f(L)$ es una variedad afín de ${\mathcal{A}}'(V')$ con dirección $\hat f(W)$.

2.    Si $L_1$ y $L_2$ son paralelas en ${\mathcal{A}}(V)$ también lo son $f(L_1)$ y $f(L_2)$ en ${\mathcal{A}}'(V')$.

3.    Si $A,B,C\in A(V)$, tales que $(A,B,C)=\lambda$ y además $f(B)\neq f(C)$ entonces $(f(A),f(B),f(C))=\lambda$.

4.    La aplicación $f$es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, si y sólo si $\hat f$ es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva respectivamente.

5.    Si $f$ es biyectiva, entonces $f^{-1}:{\mathcal{A}}'(V')\rightarrow {\mathcal{A}}(V)$ es afín con aplicación lineal asociada $\hat f^{-1}:V'\rightarrow V$.

6.    Sean ${\mathcal{A}}(V)$, ${\mathcal{A}}'(V')$, ${\mathcal{A}}''(V'')$ espacios afines y $f:{\mathcal{A}}\rightarrow {\mathcal{A}}'$ y $g:{\mathcal{A}}'\rightarrow {\mathcal{A}}''$ aplicaciones afines. Entonces $g\circ f$ es una aplicación afín con aplicación lineal asociada $\hat g\circ\hat f$.

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