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Espacio Afín y Subespacios Afines

Definición 1.1   Sea $V$ espacio vectorial sobre $K$. Se llama espacio afín asociado a $V$, a un conjunto ${\mathcal{A}}\neq\emptyset$ y una aplicación  $\varphi :{\mathcal{A}}\times {\mathcal{A}} \rightarrow V$ tal que verifique los axiomas:

 

1 .  $\forall A\in {\mathcal{A}}$ y $\forall v\in V$, $\exists ! B\in {\mathcal{A}}$   tal que  $\varphi (A,B)=v$

2.   $\forall A,B,C \in {\mathcal{A}}$,  $\varphi (A,B)+\varphi (B,C)=\varphi (A,C)$

 

El axioma 1 quiere decir que fijado un elemento de ${\mathcal{A}}$, hay una correspondencia biunívoca entre los elementos de ${\mathcal{A}}$ y los de $V$. El axioma 2 es la llamada propiedad triangular. El espacio afín, en este caso, se designa por  ${\mathcal{A}}(V(K))$, o simplemente ${\mathcal{A}}(V)$.

Ejercicio 1.2   Utilizando los axiomas 1 y 2 demostrar que:

1.    $\varphi (A,B)=0$  si y solo si $A=B$.

2.    $\varphi (A,B)=-\varphi (B,A)$  $\forall A,B\in {\mathcal{A}}$.

3.    Si $\varphi (A,B)=\varphi (C,D)$ entonces  $\varphi(A,C)=\varphi(B,D)$  $\forall A,B,C,D \in {\mathcal{A}}$.

Definición 1.3   Se define  $dim({\mathcal{A}}(V))=dim(V)$.

Definición 1.4   Sea ${\mathcal{A}}(V)$ un espacio afín y $L\subset {\mathcal{A}}(V)$. Se dice que $L$ es subespacio afín de ${\mathcal{A}}(V)$ si el conjunto: $W(L)=\{\varphi (B,X)\in V~:~B;X\in L\}$ es subespacio vectorial de $V$.

Ejercicio 1.5   Probar que si $L$ es un subespacio afín de ${\mathcal{A}}(V)$ entonces $L$ es un espacio afín asociado al espacio vectorial $W(L)$.

Ejercicio 1.6   Probar que dado $L$ un subespacio afín de ${\mathcal{A}}(V)$ y $A\in L$, entonces los subespacios vectoriales $W(L)=\{\varphi (B,X)\in V~:~B;X\in L\}$ y $W_A(L)=\{\varphi (A,X)\in V~:~X\in L\}$, coinciden.

Ejercicio 1.7   Probar que $L$ es subespacio afín de ${\mathcal{A}}(V)$ si y sólo si existe un subespacio vectorial $W$de $V$ y un punto $A\in {\mathcal{A}}$ tal que  $L=\{X\in {\mathcal{A}}~:~\varphi (A,X)\in W\}$.

Definición 1.8   El subespacio vectorial $W$se llama la dirección de $L$ y se denotará $L=A+W$.

A los subespacios afines se les llama variedades lineales afines. Una variedad lineal afín de dimensión cero es de la forma $A+{0_v}$ y está constituida solamente por el punto. Las variedades de dimensión 1, reciben el nombre de rectas y las de dimensión 2, se llaman planos. Si varios puntos están en una misma recta se dice que están alineados y si están en un mismo plano se dirán coplanarios.

Ejercicio 1.9   Si la familia de variedades $\{L_i=A_i+W_i\}_{i\in I}$ tiene intersección no vacía, probar que $\cap_{i\in I} L_i$ es el subespacio afín $A+W$donde $A\in\cap_{i\in I} L_i$ y $W=\cap_{i\in I} W_i$.

Definición 1.10   Dado un conjunto de puntos $S$ de ${\mathcal{A}}(V)$, consideramos la familia de subvariedades de ${\mathcal{A}}$ que contienen a $S$, que claramente no es vacía pues contiene a ${\mathcal{A}}$. Se define la variedad engendrada por $S$ como la intersección de esta familia de variedades.

Definición 1.11   Sean $L_1$y $L_2$ variedades afines de ${\mathcal{A}}(V)$ se define su suma como la variedad engendrada por $L_1\cup L_2$.

Ejercicio 1.12   Si $L_1=A_1+W_1$ y $L_2=A_2+W_2$ son dos variedades con intersección no vacía probar que $L_1+L_2=A+(W_1+W_2)$ donde $A\in L_1\cap L_2$.

Ejercicio 1.13   Probar que si $L_1$y $L_2$ son dos variedades afines con intersección no vacía, entonces $dim(L_1)+dim(L_2)=dim(L_1+L_2)+dim(L_1\cap L_2)$.

Definición 1.14   Sean  $A+W$ y $B+U$ dos variedades de ${\mathcal{A}}(V)$. Estas variedades se dicen paralelas cuando una de las direcciones  $U$ o $W$es subespacio vectorial de la otra.

Ejercicio 1.15   Sean $A+W$y $B+U$ dos variedades paralelas, probar que no tienen puntos en común o una de ellas está contenida en la otra.

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