Introducción a Geometría Proyectiva
Juan Carlos Álvarez Paiva
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Hace unos veinte años el estudio de la geometría proyectiva era algo parecido al estudio del latín: muy bueno para la mente y una forma “amena” de mantener un contacto con las matemáticas de nuestros antepasados. Hoy, sin embargo, la geometría proyectiva es un tema popular entre matemáticos e informáticos. Este cambio se debe a la nueva forma de ver esta geometría usando el ordenador y al hecho de que la geometría proyectiva y el pensamiento geométrico están otra vez en alza. Además, la informática nos ha devuelto el favor proporcionándonos instrumentos potentes para la visualización y la difusión de las matemáticas. Los applets de Java, las imágenes GIF (sobretodo los GIF animados), y páginas HTML que nos permite presentar las matemáticas y, más en particular, la geometría de una forma que era inconcebible hace veinte años. En este curso, estudiaremos la geometría proyectiva desde una perspectiva moderna que usa instrumentos modernos. Dedicaremos mucho esfuerzo al estudio de la unificación general de ideas en la geometría como las acciones de grupo, espacios homogéneos, invariantes, la dualidad, compactificación, complexificación, y espacios métricos. Será una ventaja para el estudiante de geometría tener estas ideas de antemano, antes de abordar otras más complejas como conexiones, fibrados, spinors, y twistors. Por otra parte estos conceptos abstractos se ilustrarán por las construcciones geométricas de gran simplicidad. Estas construcciones se hacen vivas por su presentación como applets e imágenes animadas. Además, como estas construcciones, y realmente el curso entero, está disponible en Internet, el estudiante puede dedicar el tiempo de clases a las preguntas que le surjan o a resolver problemas que se le planteen, y ampliar sus horizontes. Ahora daremos una breve descripción de la materia de este curso. Daremos sólo las ideas más elementales mostrando ejemplos visuales. Será suficiente por ahora dar una idea de lo que veremos a lo largo del curso. PerspectivaLos arquitectos y los pintores del renacimiento se preguntaron cómo representar un objeto tridimensional sobre una superficie bidimensional. Los informáticos hoy piden como hacer que un ordenador reconozca que dos imágenes que son distintas representan el mismo objeto desde puntos de vista diferentes. |
En respuesta a la primera pregunta, León Battista Alberti (1404-1472) propuso el siguiente procedimiento: interpongamos una pantalla de cristal entre el observador y el objeto, cerremos un ojo, y señalemos sobre el cristal los puntos que parecen estar sobre la imagen. La imagen resultante, aunque dos-dimensional, será una representación fiel del objeto tridimensional. El método de Alberti se puede definir como la proyección y la sección: primero dibujamos el haz de rayos de luz que entran en el ojo desde el objeto y luego cortamos con la pantalla de cristal. Como somos libres de mover nuestro ojo y la posición de la pantalla, tenemos muchas representaciones diferentes bidimensio-nales del objeto tridimensional. Un problema interesante, sugerido por el mismo Alberti, es el de reconocer las propiedades comunes de todas estas representaciones diferentes. Esta pregunta es lo mismo que los informáticos se cuestionan hoy. Para comparar la tentativa de Giotto para la perspectiva en la Epifanía con la de Raphael en la escuela de Atenas pulsa aquí. |
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