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Estudio Afín

Recordemos que el espacio afín se puede obtener al quitar un hiperplano al espacio proyectivo, llamado hiperplano del infinito. En lo que sigue consideraremos $x_{n+1}=0$ como el hiperplano del infinito. Dicho de otra forma trabajaremos con la carta  $\varphi_{n+1}\colon U_{n+1}\rightarrow \mathbb{R}^n$.

Haremos un primer estudio sobre las cónicas y luego veremos que se puede extender de forma fácil a hipercuádricas en general.

Definición 2.1   Sea $C$ una cónica en $\mathbb{R}P^2$, la cónica afín asociada $C_A$ está formada por los puntos de la cónica $C$ que no están en el infinito.

La recta del infinito es la principal característica del plano afín visto como subconjunto del plano proyectivo, y por tanto será clave en su estudio. Un primer ejemplo son las siguientes definiciones.

Definición 2.2   Si $C_A$ es una cónica afín, se define su centro como el polo respecto a $C$ de la recta del infinito. Donde $C$ es la cónica proyectiva asociada a $C_A$.

Definición 2.3   La recta polar respecto a $C$de cualquier punto del infinito (que obviamente pasará por el centro) se llama diámetro.

Ejercicio 2.4 (05)   Dar la ecuación general de una cónica proyectiva.

Ejercicio 2.5 (00)   Ver que hay tres tipos de cónicas afines no degeneradas dependiendo del número de puntos que tengan en el infinito vistas como cónicas proyectivas. Sus nombres resultan conocidos: Elipse, parábola e hipérbola.

Ejercicio 2.6 (05)   ¿Cuál de los tres tipos anteriores no tiene centro?.¿Cómo son los diámetros en este caso?.

Definición 2.7   Las asíntotas de una cónica afín son aquellas rectas que son tangentes a la cónica en los puntos del infinito.

Ejercicio 2.8 (15)   Todo diámetro de una cónica afín con centro pasa por el punto medio de cualquier secante paralela al diámetro conjugado. Véase la figura 1.

figura 1

Otra forma de ver las asíntotas viene expresada en los siguientes ejercicios.

Ejercicio 2.9 (10)   Sea $C$una cónica con centro. Podemos definir una transformación del haz de rectas que pasan por el centro (diámetros) en sí misma, que lleva un diámetro a su conjugado. Probar que esta transformación es una involución.

Ejercicio 2.10 (00)   Probar que las asíntotas de la cónica afín $C_A$son las rectas fijas por la involución anterior.

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