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Algunas definiciones

Siguiendo la misma notación que en el ejercicio 2.4 del capítulo anterior, donde $Q$ es la forma cuadrática asociada a una forma bilineal $B$ podemos hacer las siguientes definiciones:

Definición 1.1   Dos vectores $v$ y $v'\in V$ se dicen conjugados respecto a  $Q$ si $B(v,v')=0$, donde $B$es la forma bilineal (simétrica) asociada a $Q$.

Definición 1.2   Si $S$es un conjunto de vectores de $V$, llamaremos $S^Q$ al conjunto de todos los vectores de $V$que son conjugados con todos los de $S$respecto de la forma cuadrática $Q$

$$S^Q=\{v\in V\colon B(v,v')=0 \forall v\in S\}$$

Ejercicio 1.3 (00)   Probar que $V^Q=Rad(V)$.

Definición 1.4   Un vector se dice autoconjugado respecto a $Q$ si $Q(v)=B(v,v)=0$.

A partir de las definición anterior, vemos que los puntos de la hipercuádrica $\mathcal{Q}$corresponden a los “puntos” autoconjugados de la forma cuadrática asociada.

Esta relación es muy útil para trabajar con las hipercuádricas y la llamaremos polaridad

Definición 1.5   Sea $\mathcal{Q}$ la hipercuádrica proyectiva asociada a una forma cuadrática $Q$. Se define la polaridad asociada a $\mathcal{Q}$, como la aplicación proyectiva inducida por la aplicación:

$$\begin{array}{rcc} \varphi\colon V & \longrightarrow & V^*\\ x &\mapsto & B(x,-) \end{array}$$

donde $B$ es la forma bilinear simétrica asociada a $Q$.

Desde esta definición, el subespacio polar de $P(W)$ respecto de la hipercuádrica proyectiva $\mathcal{Q}$ sería el conjunto $P(W^Q)$, donde $W^Q$ es el conjugado de $W$ respecto de $Q$, la forma cuadrática asociada a $\mathcal{Q}$.

En el caso del plano proyectivo si $C$ es una cónica, el subespacio polar de una recta respecto a $C$ es un punto llamado polo de la recta y el subespacio polar de un punto es una recta que se llama recta polar del punto.

Definición 1.6   Se dice que dos rectas son conjugadas si cada una de ellas contiene al polo de la otra.

Ejercicio 1.7 (00)   Probar que la correspondencia polo-polar es biunívoca, es decir, el polo de la polar de un punto es el propio punto y análogamente la polar del polo de una recta es la propia recta.

Ejercicio 1.8 (-05)   Probar que las rectas tangentes a la cónica son aquellas que contienen a su polo.

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