Próximo: Bibliografía Arriba: Geometría de la Recta Anterior: La recta proyectiva compleja

La acción de $PGL(2,\mathbb{C})$ sobre $\mathbb{C}P^1$

Desde el punto de vista algebraico, hay poca diferencia entre la descripción de la acción del grupo complejo proyectivo sobre el espacio proyectivo complejo y la descripción de la acción del grupo proyectivo real sobre el espacio proyectivo real.

Ejercicio 2.1 (00)   Probar que la acción de $GL(n+1,\mathbb{C})$ sobre $\mathbb{C}P^n$ definida por $(A,[v])\mapsto [Av]$ es transitiva. Demostrar que una matriz $A\in GL(n+1,\mathbb{C})$ fija todos los puntos de $\mathbb{C}P^n$si y sólo si es un múltiplo de la identidad.

Definición 2.1   El grupo proyectivo $PGL(n,\mathbb{C})$, $n>2$ es el cociente de $GL(n,\mathbb{C})$ por la relación de equivalencia: dos matrices son equivalentes si son múltiplo la una de la otra.

Ejercicio 2.2 (00)   Usar el ejercicio 2.1 para definir una acción transitiva de $PGL(n+1,\mathbb{C})$ sobre $\mathbb{C}P^n$. Mostrar que si un elemento del grupo proyectivo fija todos los puntos en el espacio proyectivo, entonces es la identidad.

Ejercicio 2.3   Identificamos $\mathbb{C}P^1$ con $\mathbb{C}$ más el punto del infinito y consideramos

$$A:= \left ( \begin{array}{cc} a& b\\ c& d \end{array}\right )$$

una matriz invertible (compleja). Demostrar el efecto de la acción de $A$ sobre un número complejo $\zeta$ es igual a $(a\zeta+b)/c\zeta+d)$.

Las transformaciones de la forma $\zeta\mapsto (a\zeta+b)/c\zeta+d)$se llaman normalmente transformaciones de Moebius o transformaciones lineales fraccionarias.

Ejercicio 2.4 (00)   Utilizando las fórmulas del capítulo 2, es fácil ampliar los teoremas fundamentales (primero y segundo) de la geometría proyectiva al caso complejo.

1.    Probar que existe una transformación única de la forma

$$\zeta\mapsto \frac{a\zeta+b}{c\zeta+d}$$

que lleva una terna de números complejos distintos $z_0,z_1,z_2$ a $\infty,0,1$.

2.    Escribir la fórmula para la transformación proyectiva que lleva $\infty,0,1$ a $z_0,z_1,z_2$(esto es, la inversa de la transformación anterior).

3.    Escribir la fórmula para la transformación que lleva $z_0,z_1,z_2$ a $z'_0,z'_1,z'_2$.

Como consecuencia trivial de este ejercicio tenemos:

Teorema 2.2 (Primer teorema fundamental)   Si $(x,y,z)$ y $(x',y',z')$ son dos ternas de puntos distintos sobre la recta proyectiva compleja, existe una única transformación proyectiva que envía $x$ a $x'$, $y$ a $y'$ y $z$ a $z'$.

Definición 2.3   Sea $p_0,p_1,p_2,p_3$ una cuaterna de puntos sobre la recta proyectiva compleja con $p_0$, $p_1$ y $p_2$diferentes unos de otros, y sea $T$ la única transformación proyectiva que lleva $p_0$, $p_1$ y $p_2$ respectivamente sobre $\infty$, 0 y $1$. La razón doble $[p_0,p_1,p_2,p_3]$ se define como el punto $T(p_3)\in\mathbb{C}\cup\{\infty\}$.

Ejercicio 2.5 (00)   Identificando la recta proyectiva compleja con $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$, comprobar que la razón doble de cuatro números complejos $z_0,z_1,z_2,z_3$ se puede escribir como:

$$[z_0,z_1,z_2,z_3]=\frac{z_2-z_0}{z_2-z_1}\frac{z_3-z_1}{z_3-z_0}$$

Ejercicio 2.6 (00)   Probar que si $T$es una transformación proyectiva y $p_0,p_1,p_2,p_3$es una cuaterna de puntos sobre la recta proyectiva con $p_0$, $p_1$ y  $p_2$diferentes unos de otros, entonces la razón doble $[p_0,p_1,p_2,p_3]$ es igual a $[T(p_0),T(p_1),T(p_2),T(p_3)]$.

Teorema 2.4 (Segundo teorema fundamental)   Una transformación de la recta proyectiva compleja en sí misma es una transformación proyectiva si y sólo si conserva las razones dobles.

Ejercicio 2.7 (00)   Demostrar el teorema 2.2.

Los ejercicios precedentes - copias exactas de los del capítulo 2 - pueden llevar al lector a creer que la geometría de la recta proyectiva compleja es similar a la de la recta proyectiva real. En este momento veremos que el caso complejo es infinitamente más rico y más hermoso. En primer lugar, las circunferencias juegan un papel privilegiado en la geometría proyectiva compleja.

Observación. De ahora en adelante llamaremos rectas tanto a las rectas como a las circunferencias. La idea intuitiva consiste en que una recta es un circunferencia de radio infinito, o simplemente la proyección estereográfica de un circunferencia que pasa por el Polo Norte.

Ejercicio 2.8 (10)   Probar que cuatro puntos en $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ están sobre la misma circunferencia si y sólo si su razón doble es un número real.

Ejercicio 2.9 (05)   Escribir la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos $(0,0)$, $(0,2$ y $1,1)$.

Una consecuencia obvia de ejercicio 2.8 es el siguiente resultado importante.

Proposición 2.5   Las transformaciones de Moebius llevan circunferencias a circunferencias.

Ejercicio 2.10 (10)   Demostrar que dadas dos circunferencias cualesquiera existe siempre una transformación de Moebius que lleva una circunferencia en la otra.

Para entender mejor las transformaciones de Moebius, consideraremos tres casos particulares. Los dos primeros son ya familiares: las transformaciones de la forma $z\mapsto z+b$ son las traslaciones del número $z$ pensado como un vector sobre el plano, las transformaciones de la forma $z\mapsto az$, $a\neq 0$ son dilataciones (homotecias) compuestas con rotaciones alrededor del origen. El tercer caso, la inversión $z\mapsto 1/z$, es más interesante.

Ejercicio 2.11 (15)   Sea $(u,v,0)=u+iv$ un punto sobre $\mathbb{C}=R^2\subset R^3$ y sea $(x,y,z)$ la imagen inversa de $u+iv$por la proyección estereográfica desde el Polo Norte de la esfera unidad. Tracemos una recta desde $(x,y,z)$ al Polo Sur y consideremos el punto donde esta recta corta a $\mathbb{R}^2$. Demostrar que este punto es $1/(u+iv)$.

 

El lector debe tener presente que las transformaciones de Moebius son transformaciones proyectivas complejas solamente cuando se ven en el modelo que identifica $\mathbb{C}P^1$ con $\mathbb{C}$más el punto del infinito. El cambio de este modelo por la esfera, conduce a nuevas ideas como la que hemos presentado en el ejercicio anterior. Otro ejemplo viene dado en el siguiente ejercicio:

Ejercicio 2.12   2.12 (*15) Probar que una transformación de Moebius $z\mapsto (az+b)/cz+d)$induce una rotación sobre la esfera si y sólo si $d=\bar a$ y $c=-\bar b$. En otras palabras si y sólo si la matriz

$$A:= \left ( \begin{array}{cc} a& b\\ c& d \end{array}\right )$$

es unitaria. Pista: Las rotaciones fijan un par de puntos antípodas.

Como podemos multiplicar todas las entradas de $A$ por el mismo número no nulo complejo sin cambiar la transformación, podemos asumir que el determinante de $A$ es igual a 1. Usar esto para identificar el grupo $SU('')$con el doble recubridor del grupo de rotaciones $SO(3)$.

Ejercicio 2.13 (20)   Probar que cualquier transformación de Moebius es la composición de translaciones, homotecias, rotaciones e inversiones.

Ejercicio 2.14 (10)   El resultado anterior nos permite dar una nueva prueba de que las circunferencias se conservan mediante transformaciones de Moebius. De hecho, esto basta para demostrar que la inversión $z\mapsto 1/z$ envía circunferencias a circunferencias.

• Sean $A$ y $C$números reales y sea $B$ un número complejo. Demostrar que la ecuación $Az\bar z+Bz +\bar B\bar z+C=0$ define un circunferencia si y sólo si $AC-\vert B\vert^2<0$. Recíprocamente, demostrar que cualquier circunferencia tiene una ecuación de esta forma.
• Usando lo anterior demostrar que las transformaciones de Moebius llevan circunferencias a circunferencias.
• Una anti-homografía es una transformación de la forma $z\mapsto (a\bar z+b)/(c\bar z+b)$, con $ad-bc\neq 0$. Demostrar que las anti-homografías también envían circunferencias a circunferencias.

Además de llevar circunferencias a circunferencias, las transformaciones de Moebius tienen importante la propiedad de conservar los ángulos y la orientación. Para verlo en el contexto apropiado, estudiaremos todas las transformaciones que satisfacen esta propiedad.

Ejercicio 2.15 (20)   Demostrar que la transformación lineal de $\mathbb{R}^2$en sí mismo definida por la matriz invertible

$$A:= \left ( \begin{array}{cc} a& b\\ c& d \end{array}\right )$$

Conserva los ángulos y la orientación si y sólo si $a=d$ y $c=-b$. En otras palabras, $A$ representa la multiplicación por un número complejo no nulo . Pista: $A$ conserva la orientación si y sólo si su determinante es positivo.

Definición 2.6   Una aplicación diferenciable de un abierto de $\mathbb{R}^2$en $\mathbb{R}^2$se dice que conserva ángulos si en cada punto la diferencial

$$D_{(x,y)}f\colon\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$$

es una transformación lineal que conserva ángulos. De la misma manera, se dice que $f$conserva la orientación si su diferencial es una aplicación lineal que conserva la orientación.

Una aplicación diferenciable desde un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$ que conserva ángulos y orientaciones se dice conforme.

Ejercicio 2.16 (10)   Este ejercicio muestra que las aplicaciones conformes se caracterizan por un sistema simple de ecuaciones diferenciales.

1.    Probar que una aplicación diferenciable $f(x,y):=(u(x,y),v(x,y))$ de un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$en $\mathbb{R}^2$es conforme si y sólo si cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}~~~~~~ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

2.    Sea $\frac{\partial}{\partial \bar z}:= \frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y})$. Probar que $f=u+iv$ es conforme si y sólo si $\frac{\partial}{\partial \bar z}$ es idénticamente igual a cero.

3.    Probar que si $f=(u,v)$ es una transformación conforme, entonces $u$ y $v$ son funciones armónicas, es decir:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}= \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0$$

Ejercicio 2.17 (10)   Sean $f$y $g$dos aplicaciones conformes definidas sobre algún subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$. En este ejercicio, consideraremos que los valores de $f$y $g$son números complejos en lugar de verlos solamente como puntos o vectores en $\mathbb{R}^2$.

1.    Probar que la aplicación $f+g$ es conforme.

2.    Probar que la aplicación $f\cdot g$ (la multiplicación compleja) es conforme. Concluir que cualquier polinomio complejo define una aplicación conforme.

3.    Supongamos que $f$no es idénticamente nula. Probar que la función $1/f$ es conforme sobre su dominio de definición. Concluir que una función racional (esto es, un cociente de dos polinomios) es conforme sobre su dominio de definición.

El ejercicio anterior demuestra el siguiente resultado importante:

Teorema 2.7   Las transformaciones de Moebius son aplicaciones conformes.

Usando que las transformaciones de Moebius conservan ángulos, podemos dar una prueba simple de que la proyección estereográfica conserva ángulos.

Ejercicio 2.18   Usar el ejercicio 1.7, el teorema anterior y el hecho de que las rotaciones sobre la esfera se pueden representar por transformaciones de Moebius para demostrar que la proyección estereográfica conserva ángulos.

Próximo: Bibliografía Arriba: Geometría de la Recta Anterior: La recta proyectiva compleja