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La recta proyectiva compleja

Definición 1.1   El espacio proyectivo complejo $n$-dimensional $\mathbb{C}P^n$ es el conjunto de todas las rectas complejas sobre $\mathbb{C}^{n+1}$ que pasan por el origen.

Nótese que también podemos definir $\mathbb{C}P^n$como el cociente de $\mathbb{C}^{n+1}\ \{0\}$por la relación de equivalencia $v\sim w$ si $v$ y $w$ son múltiplos complejos el uno del otro.

Si $(z_1,\cdots ,z_{n+1})$ es un vector no nulo de $C^{n+1}$ expresado en la base canónica, denotamos su clase de equivalencia por $[z_1:\cdots :z_{n+1}]$.

Como $\mathbb{C}^2$es un espacio vectorial de dimensión cuatro sobre los reales, parece difícil a primera vista tener una idea intuitiva de la recta proyectiva compleja. Los ejercicios siguientes muestran que la recta proyectiva compleja puede ser como la recta compleja $\mathbb{C}$más un punto en el infinito o como la esfera unidad en $\mathbb{R}^3$.

Ejercicio 1.1 (00)   Probar que la aplicación de $\mathbb{C}P^1\ \{[1:0]\}$ en $\mathbb{C}$ definida por

$$[z_1:z_2]\mapsto z_1/z_2$$

Es una biyección.

Ejercicio 1.2 (10)   Sea $F$ la aplicación que lleva los vectores no nulos de $\mathbb{C}^2$a vectores en $\mathbb{R}^3$según la regla siguiente:

$$F(z_1,z_2):=\left ( \frac{z_1\bar z_2+\bar z_1z_2}{z_1\bar z_1+\b... ...r z_2z_2)}, \frac{z_1\bar z_1-\bar z_2z_2}{i(z_1\bar z_1+\bar z_2z_2)} \right)$$

Probar que $F$ define una biyección entre $\mathbb{C}P^1$ y la esfera unidad en $\mathbb{R}^3$.

La proyección estereográfica da la relación entre ambas representaciones de la recta proyectiva compleja.

Ejercicio 1.3 (10)   Sea $(x,y,z)$ un punto sobre $S^2$ distinto del Polo Norte $N:=(0,0,1)$. Probar que la recta que une $(x,y,z)$con el Polo Norte corta al plano $xy$ en el punto $(1-z)^{-1}(x,y,0)$.

Definición 1.2   La proyección estereográfica es la aplicación $\mathcal S \colon S^2 /N\rightarrow \mathbb{C}$ definida por

$$\mathcal S (x,y,z):=\frac{x}{1-z}+i\frac{y}{1-z}.$$

 

 

Ejercicio 1.4 (05)   Probar que la inversa de la proyección estereográfica lleva un número complejo $u+iv$ al punto

$$\left ( \frac{2u}{1+u^2+v^2},\frac{2v}{1+u^2+v^2},\frac{1-u^2-v^2}{1+u^2+v^2}, \right )$$

sobre la esfera unidad.

Un lector agudo debe haber notado la semejanza entre la fórmula precedente y la del ejercicio 1.2. El ejercicio siguiente da la relación exacta:

Ejercicio 1.5 (05)   Sea $[z_1:z_2]$ un punto sobre $\mathbb{C}P^1$ diferente de $[1:0]$. Probar que $\mathcal S (F(z_1,z_2))=z_1/z_2$.

La existencia de estos dos modelos geométricos para $\mathbb{C}P^1$ y sus conexiones con los números complejos y la geometría espacial es central para el entendimiento de la geometría de la recta proyectiva compleja. Para pasar de un modelo a otro, tenemos que entender bien las propiedades de la proyección estereográfica.

Ejercicio 1.6 (20)   Probar que la imagen de una circunferencia sobre $S^2$ mediante la proyección estereográfica es o una circunferencia o una recta. Además, la imagen de una circunferencia es una recta si y sólo si la circunferencia pasa por el Polo Norte.

Otra propiedad importante de la proyección estereográfica es que conserva ángulos. Daremos una prueba simple de este hecho más tarde, pero invitamos al lector a verificar esta propiedad en el caso más simple posible:

Ejercicio 1.7 (05)   Probar que la imagen por la proyección estereográfica de dos curvas sobre $S^2$ que se cortan en el polo sur con un ángulo $\theta$ consiste en dos curvas sobre el plano que se cortan en el origen con un ángulo $\theta$.

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