Próximo: Bibliografía Arriba: Grupos y sus acciones Anterior: Ejemplos importantes del álgebra

Acciones de grupos sobre conjuntos

Los grupos en geometría se definen a menudo como los subgrupos del grupo de biyecciones de un conjunto. Sin embargo, una definición abstracta de lo que significa la acción de un grupo sobre un conjunto también es útil.

Definición 1.4   Sea $X$un conjunto y sea $(G,*)$ un grupo. Una acción (a la izquierda) de $G$sobre $X$es una aplicación $\mu\colon G\times X\rightarrow X$ tal que

• Si $e\in G$ es el elemento identidad, entonces $\mu(e,x)=x$ para todo $x\in X$.
• Si $g$ y $h$están en $G$, entonces $\mu(g,\mu(h,x))=\mu(g*h,x)$ para todo $x\in X$.

Ejercicio 1.13 (00)   Probar que la aplicación $g\mapsto \mu(g,\cdot)\in Biy(X)$es un homomorfismo de grupos. Usar esto para redefinir la acción de un grupo sobre un conjunto.

Definición 1.5   Una acción $\mu$de un grupo $(G,*)$sobre un conjunto $X$, se dice transitiva, si siempre que $x$ e $y$ están en $X$, existe un elemento $g\in G$ tal que $\mu(g,x)=y$.

La siguiente construcción nos permite dar todos los ejemplos de acciones de grupo transitivas: si $G$es un grupo y $H\subset G$es un subgrupo, definimos la relación de equivalencia $g\sim h$si $g^{-1}*h\in H$. El cociente $G/\sim$es el conjunto de clases a derecha sobre $H$que también se denota por $G/H$.

Ejercicio 1.14   Probar que la acción $\mu\colon G\times G/H \rightarrow G/H$definida por $\mu(g,[f])=[g*f]$es transitiva.

Definición 1.6   Sea $\mu\colon G\times X\rightarrow X$una acción transitiva de un grupo $G$sobre un conjunto $X$. Si $x\in X$, definimos el subgrupo de isotropía de $x$, $G_x$ como el conjunto de todos los $g\in G$que fijan a $x$ (esto es, $\mu(g,x)=x$).

Ejercicio 1.15   Sea $\mu\colon G\times X\rightarrow X$una acción transitiva de un grupo $G$ sobre un conjunto $X$y sea $x$ un elemento de $X$. Encontrar una biyección canónica entre $X$ y $G/G_x$.

Ejercicio 1.16 (00)   Sea $V$un espacio vectorial real. Dar alguna acción transitiva de $GL(n,\mathbb{R})$sobre $V$.

Ejercicio 1.17 (05)   Si $O(n)$es el grupo de las matrices $n\times n$ ortogonales y $S^{n-1}$denota la esfera unidad en $R^n$, Entonces hay una acción natural

$$\mu\colon O(n)\times S^{n-1}\rightarrow S^{n-1}$$

definida por $\mu(A,x)=Ax$.

1.    Comprobar que es una acción y probar que es transitiva.

2.    Identificar el subgrupo de todas las transformaciones ortogonales que fijan "el Polo Norte" $(0,\cdots ,0,1)$.

3.    Escribir la esfera como un cociente de $O(n)$.

4.    * ¿Cuál es la dimensión de $O(n)$?

5.    * Demostrar que las transformaciones ortogonales son los únicos elementos de $Biy(S^{n-1})$que conservan las distancias.

A veces un conjunto admite muchas acciones transitivas diferentes y se puede representar de maneras diferentes como cociente de un grupo.

Ejercicio 1.18 (05)   Consideremos la acción $\mu\colon GL(n,\mathbb{R})\times S^{n-1}\rightarrow S^{n-1}$definida por $\mu(A,x)=Ax/\vert\vert Ax\vert\vert$. Demostrar que esta acción es transitiva y escribir la esfera como un espacio de cociente de $GL(n,\mathbb{R})$.

Ejercicio 1.19 *(20)   Encontrar las acciones transitivas del grupo unitario $U(n)$o el grupo especial unitario $SU(n)$sobre la $(2n-1)$-esfera unidad y escribir $S^{2n-1}$ como un espacio cociente de $U(n)$y de $SU(n)$. * Usar esto para calcular la dimensión de $U(n)$y de $SU(n)$.

Ejercicio 1.20 (15)   El grupo euclídeo $n$-dimensional $E(n)$ es el conjunto $O(n)\times \mathbb{R}^n$junto con el producto $(A,x)*(B,y)=(AB,x+Ay)$.

1.    Comprobar que $E(n)$ es un grupo.

2.    Probar que la aplicación $\mu\colon E(n)\times R^n\rightarrow R^n$definida por $\mu((A,x),y)=Ay+x$(girar y luego trasladar), es una acción transitiva.

3.    * Demostrar que las transformaciones euclídeas son los únicos elementos de $Biy(\mathbb{R}^n)$que conservan las distancias.

Ejercicio 1.21 (*20)   El grupo $n$-dimensional afín $A(n)$es el conjunto $GL(n)\times \mathbb{R}^n$junto con el producto $(A,x)*(B,y)=(AB,x+Ay)$. Probar que $A(2)$actúa transitivamente sobre el conjunto de elipses (o parábolas, o hipérbolas) sobre el plano.

Próximo: Bibliografía Arriba: Grupos y sus acciones Anterior: Ejemplos importantes del álgebra