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Motivación y definiciones básicas

Consideremos Biy$(X)$ el conjunto de todas las biyecciones de un conjunto $X$en sí mismo. Si $f$ y $g$ son dos biyecciones, entonces también lo es su composición $f\circ g$. Existe la biyección identidad que lleva cada elemento en sí mismo, a la que llamamos $e$, y tal que si $f$es cualquier otra biyección, se tiene: $f\circ e=e\circ f=f$. Además, cada biyección $f$ tiene una inversa $f^{-1}$, y la composición de una biyección y su inversa es igual a la identidad.

Ejercicio 1.1 (05)   Probar que la composición de biyecciones es asociativa, pero no necesariamente conmutativa.

Ejercicio 1.2 (05)   Cuando $X$es el conjunto $\{1,\cdots n\}$, entonces Biy$(X)$ es el conjunto de las permutaciones de $n$símbolos y se denota por $S_n$. ¿Cuántos elementos hay en $S_n$?

*El código de César y la biblioteca de Borges. Si consideramos el conjunto de las biyecciones del alfabeto $\{a,b,\cdots ,z\}$, entramos en el mundo de la criptografía. Ya en la antigüedad, Julio César la usó para cifrar sus mensajes sustituyendo la letra $a$ por la letra $d$, la $b$ por la $e$, etcétera (la letra $z$ se sustituía por la letra $c$). El problema de este tipo de códigos es que ymjd fwj jcywjrjqd jfxd yt gwjfp ¹. Nota: También puede leer “El escarabajo de oro” de Edgar Allan Poe.

En un hermoso cuento titulado la Biblioteca de Babel, Jorge Luis Borges describe una biblioteca de libros cuyas páginas están llenas de las permutaciones de las letras del alfabeto, comas, puntos y espacios en blanco. Desde luego, todo el conocimiento del Universo se podría encontrar en una biblioteca de este estilo. Las páginas que ahora esta leyendo son también de esta forma.

En el ejemplo de las biyecciones, tenemos un conjunto junto con una operación (la composición) que dados dos elementos del conjunto y le asigna otro. Además, esta operación satisface ciertas propiedades. Ya que esta estructura aparece muy a menudo en matemáticas, es útil darle un nombre.

Definición 1.1   Un grupo está compuesto por un conjunto $G$y una función de multiplicación

$$*\colon G\times G\rightarrow G$$

satisfaciendo las siguientes propiedades:

• La multiplicación es asociativa: $f*(g*h)=(f*g)*h$.
• Existencia del elemento identidad: hay un elemento $e\in G$ tal que para cada $f\in G$, $f*e=e*f=f$.
• Existencia de inverso: para cualquier elemento $f\in G$, hay otro elemento $f^{-1}\in G$ tal que $f^{-1}*f=f*f^{-1}=e$.

Definición 1.2   Sea $G$un grupo y $H$un subconjunto de $G$. Decimos que $H$es un subgrupo de $G$si

• La identidad pertenece a $H$.
• Siempre que un elemento está en $H$ también está su inverso.
• Siempre que dos elementos están en $H$ también está su producto.

Claramente, si $H$es un subgrupo de $(G,*)$, entonces $(H,*)$es un grupo.

Ejercicio 1.3 (*10)   ¿Cual es la probabilidad de que un subconjunto de $S_3$sea un subgrupo?

⁽¹⁾ En la traducción se ha dejado el texto cifrado en el idioma original (inglés). Una traducción al castellano podría ser:

xts wjfqrjsyj kfhnqjx ij wtrujw.

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