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Introducci’on

• Existen situaciones donde las señales tienen que cambiar alguno de sus par’ametros (su amplitud, fase o frecuencia) para que puedan ser transmitidas. Por ejemplo, cuando se radian señales usando antenas hay que aumentar su frecuencia para que el tamaño de ’estas sea suficientemente pequeño.
• Durante la modulaci’on, una señal peri’odica, generalmente sinusoidal y llamada señal portadora¹ o carrier signal, altera alguno de sus par’ametros en funci’on de la señal que almacena la informaci’on que deseamos transmitir (modulating signal). El receptor rastrea dichas alteraciones en la seal modulada (modulated signal) y en funcin de estas, reconstruye la seal de datos.
  Seal moduladora   +-----------+ Seal modulada  
  -----------------> | Modulador | ---------------+  
       (datos)       +-----------+  (mismos datos)|  
                           ^                      |  
                           | Seal                |  
                           | portadora            |  
                           v                      |  
  Seal moduladora  +--------------+              |  
  <-----------------| Desmodulador |<-------------+  
       (datos)      +--------------+

• Como normalmente las comunicaciones son full-duplex, ambos extremos necesitan de un modulador y de un desmodulador o modem² .
• En este documento veremos las formas de modulaci’on de seales ms usadas, tanto para seales de datos analgicas como digitales. En principio las tcnicas de modulacin son las mismas, independientemente de la naturaleza (digital o analgica) de la seal de datos. Sin embargo, en otras ocasiones, especialmente para el caso digital se han acuado tanto trminos como implementaciones especficas que en algunos casos no han sido aplicados a seales analgicas.

1 Modulaci’on de amplitud

• En AM (Amplitude Modulation of analog signals) o ASK (Amplitude-Shift Keying of digital signals) la señal de datos controla la amplitud de la señal portadora [2].

Modulaci’on

• Si s(t) representa a una señal de datos digitales, unipolar (que nunca se hace negativa,) en banda base³ (que su espectro de frecuencias ocupa el rango [0,w_s] donde w_s es su m’axima componente de frecuencia angular) y c(t) es la portadora, la señal modulada s_ASK(t) puede generarse mediante el producto de señales

  (1)

• Como ya hemos indicado, la señal c(t) es normalmente una senoide de la forma

  (2)

  donde por comodidad de exposici’on supondremos que A_c = 1 (para simplificar las expresiones y obtener espectros normalizados) y ϕ = 0 (porque en ASK la fase es irrelevante para el receptor). En la Figura

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  Figure 1: Modulaci’on en amplitud.

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  1 se muestra un ejemplo de las tres señales. En dicha figura se ha supuesto que la seal digital codifica un bit de datos con cada nivel de amplitud. Sin embargo, podran usarse tantos niveles como fuera necesario (o posible, dependiendo de la SNR del sistema).

• Usando el desarrollo en serie de Fourier de la señal digital que representa a la peor secuencia posible s(t) (Ecuaci’on ??, modificada para señales unipolares⁴ ), dicha señal digital puede ser expresada (en su forma m’as exigente de consumo de ancho de banda) como

  y por tanto, tras realizar la modulaci’on en amplitud obtenemos

  

  Si ahora aplicamos el cambio trigonom’etrico

  (3)

  obtenemos que

  

  de donde se deduce que el espectro |S_ASK(f)| es el que se muestra en la Figura

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  Figure 2: Espectro de una señal modulada en amplitud.

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  2.

• Si comparamos |S_ASK(f)| con |S(f)| comprobaremos que el ancho de banda se ha duplicado y que el espectro de s(t) ahora aparece desplazado f_c Hz, aunque atenuado en un factor de 2. N’otese adem’as que ambas bandas laterales transportan la misma informaci’on porque son sim’etricas respecto de f_c (la frecuencia de la portadora). Esto significa que podemos transmitir s’olo una de ellas y la desmodulaci’on todav’ia ser’ia posible. Para este prop’osito se suele utilizar un filtro paso-banda con frecuencias de corte ]f_c,f_c + f_s] (eliminando por tanto la banda lateral inferior) y a la señal filtrada se le conoce por señal modulada ASK en banda lateral ’unica, en adelante s_ASK−BLU(t).
• f_s es la m’axima componente de frecuencia de s(t). Es necesario, por tanto, que la señal de datos est’e limitada en banda o la desmodulaci’on ser’ia imposible.
• Como el filtro elimina la mitad del espectro (que es sim’etrico) tambi’en elimina la mitad de la energ’ia. Por tanto, el filtro suele tener una ganancia de 2 para que al final la SNR obtenida al transportar s_ASK(t) o s_ASK−BLU(t) sea la misma.

Desmodulaci’on

• Como hemos podido observar, cuando modulamos con una portadora de frecuencia f_c, S(f) se desplaza hasta f_c, su amplitud se divide entre 2 y adem’as, se crea una r’eplica sim’etrica de S(f) respecto de f_c. Por tanto, si volvemos a multiplicar la señal modulada s_ASK(t) de nuevo por la portadora c(t), crearemos dos r’eplicas desplazadas sobre f_c y −f_c del espectro |s_ASK(t)|. As’i creamos tres r’eplicas de |S(f)| en −2f_c, 0 y 2f_c Hz, pero n’otese que la segunda de ellas es la suma de dos espectros id’enticos y por lo tanto tiene la misma forma aunque el doble de amplitud que sus l’obulos hermanos. En la Figura

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  Figure 3: Re-modulaci’on ASK de una señal modulada en ASK (desmodulacin).

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  3 se muestra dicho espectro.

• Aplicando a continuaci’on un filtro paso-bajo con frecuencia de corte en f_s y ganancia dos, recuperamos la señal de datos s(t).

2 Modulaci’on de frecuencia

• En FM (Frequency Modulation of analog signals) o FSK (Frecuency-Shift Keying of digital signals) la señal de datos modifica la frecuencia de la portadora.

Modulaci’on

• Se basa en usar dos portadoras de frecuencias distintas y la misma amplitud. Esto se puede conseguir mediante la relaci’on

  (4)

  siendo s(t) una señal unipolar en banda base con amplitud m’axima 1. En la Figura

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  Figure 4: Modulaci’on en fase.

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  4 se muestra un ejemplo.

• Como puede apreciarse, la señal FSK generada por la Expresi’on 4 es equivalente a sumar la salida de dos moduladores ASK con portadoras de frecuencia w₁ y w₂ [1], pero es importante darse cuenta de que estos moduladores nunca emiten señal al mismo tiempo. Cuando modulamos un 0 es el modulador ASK con portadora w₁ el que emite señal y cuando modulamos un 1 es el modulador ASK con portadora w₂.
• Desde el punto de vista de la frecuencia, lo que obtenemos son los espectros mostrados en la Figura

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  Figure 5: Espectro de una señal modulada en fase.

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  5. Cuando modulamos un 0 se utiliza la banda de frecuencias [f₁ −f_s,f₁ + f_s] y cuando modulamos un 1 la banda [f₂ −f_s,f₂ + f_s]. Al igual que ocurre con ASK-BLU, en FSK podemos filtrar la mitad de cada l’obulo para reducir el ancho de banda consumido. Si observamos la Figura 5 podemos ver que para el l’obulo que transmite un 0 podemos seleccionar la banda lateral superior y para el l’obulo que transmite un 1 la inferior. Sin embargo, debe verificarse que

  (5)

  o de lo contrario el receptor no sabr’ia cu’ando se est’a transmitiendo un 0 o un 1.

• Esto significa que los requerimientos de ancho de banda para FSK son ligeramente superiores a los de ASK, aunque el incremento (normalmente pequeño) en la cantidad de ancho de banda requerido est’a en la pr’actica m’as que justificado porque el ruido del canal tiende a afectar m’as a la amplitud de la señal modulada que a su frecuencia, lo que provoca que FSK sea m’as resistente al ruido que ASK.

Desmodulaci’on

• La desmodulaci’on de una señal FSK es la misma que para una ASK, aunque hacen falta dos desmoduladores diferentes, uno para cada portadora.

3 Modulaci’on de fase

• En PM (Phase Modulation of analog signals) o PSK (Phase-Shift Keying of digital signals) la señal de datos modifica la fase de la portadora.

Modulaci’on

• Se puede conseguir si empleamos una modulaci’on ASK pero partiendo de una señal bipolar (en lugar de unipolar). Podemos conseguir f’acilmente la versi’on bipolar s′(t) de una señal de datos a partir de su versi’on unipolar s(t) utilizando la expresi’on

  (6)

  En la Figura

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  Figure 6: Modulaci’on en fase.

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  6 se muestra un ejemplo.

• El espectro de una señal PSK de este tipo es id’entico al de la modulaci’on ASK, pero la señal portadora no est’a presente ya que la media de la señal s′(t) es 0. Los anchos de banda requeridos por ASK y PSK son id’enticos.

Desmodulaci’on

• Igual que en ASK.

4 Modulacin de señales digitales

• Aunque las señales de datos usadas en los ejemplos anteriores son digitales, el planteamiento es el mismo que para señales anal’ogicas. Sin embargo, trabajar con señales digitales permite crear modems mucho m’as sofisticados.
• Para parametrizar la eficiencia de dichos modems es necesario conocer lo que se conoce como elemento de señalizaci’on y por baudio. Un elemento de señalizaci’on es aquella porci’on de la señal transmitida que identifica al menos a un bit de datos. Un baudio implica la transmisi’on de un elemento de señalizaci’on en un segundo. Por lo tanto, un modem que transmite a 1200 baudios, transmite al menos 1200 bits/segundo.

5 Modulacin digital QPSK

• Cuando el enlace de transmisi’on lo permite, un modem tratar’a de aumentar los baudios y el n’umero de bits por elemento de señalizaci’on. Por ejemplo, existen modems que usan modulaci’on PSK con 4 fases distintos (0^o, 90^o, 180^o y 270^o), lo que permite transmitir s’imbolos de 2 bits con cada elemento de señalizaci’on. En la Figura

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  Figure 7: Modulaci’on 4-PSK.

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  7 se muestra c’omo funciona la modulaci’on de cambio de fase en cuadratura [1] o QPSK (Quadrature-Phase-Shift Keying), que tambi’en se ha llamado 4-PSK. En este caso la tasa de señalizaci’on (baudios) es la mitad que la tasa de bits (bps).

• Existe adem’as otra forma interesante de representar el funcionamiento de un modem “tipo PSK” mediante su diagrama de fase o constelaci’on. Este gr’afico enfrenta la amplitud de la portadora frente a la fase. El resultado para 4-PSK se muestra tambi’en en la figura anterior. A este diagrama tambin se le conoce por el nombre de I-Q plane donde I stands for “In phase” (X-asis) and the Q for “Quadrature” (Y-asis).

6 Modulacin digital N-QAM

• Otro claro ejemplo de esto lo tenemos en la modulaci’on de amplitud en cuadratura o QAM (Quadrature Amplitude Modulation). En ella se mezclan las modulaciones ASK (2^x amplitudes) y PSK (2^y fases) para representar con dada elemento de señalizaci’on (x + y) bits. En la Figura

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  Figure 8: Modulaci’on QAM.

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  8 se muestra la modulaci’on 8-QAM, donde x = 1 e y = 2, siendo en este caso la tasa de bits 3 veces superior a la de Baudios.

  Cuando se diseña un sistema de modulaci’on QAM (el m’as utilizado en la actualidad), lo que se intenta es que la señal de error presente en el enlace provoque un movimiento m’inimo de las estrellas dentro de la constelaci’on, para que el receptor no cometa errores. Como es l’ogico, esto depende fundamentalmente de la SNR del enlace.

7 TCM (Trellis Coding Modulation)

• La capacidad de un enlace depende proporcionalmente de su ancho de banda y del SNR. El ancho de banda influye en el nmero de baudios que se pueden transmitir y el SNR a la distancia mnima entre las estrellas (smbolos).
• La codificacin convolucional permite la correccin de errores en secuencias digitales introduciendo cierta cantidad de redundancia. Bsicamente, a la entrada del codificador tenemos los diferentes smbolos posibles y a la salida su codificacin. En TCM, tpicamente, se aade un bit de redundancia por smbolo. Ntese que en este caso, de todas las posible combinaciones de bits que puedan llegar al receptor influenciadas por el ruido del enlace, slo la mitad han podido ser generadas por el codificador convolucional. Este hecho lo aprovecha el descodificador convolucional para encontrar el smbolo codificado en presencia de errores de transmisin.
           +---------------+           +-------+  
  symbol   | Convolutional | code      | (N+1) | modulated  
  -------->|               |---------->|       |-------->  
  N bits   | Encoder       | N+1 bits  | QAM   | signal  
           +---------------+           +-------+

• En TCM, la salida del codificador convolucional se modula usando (N + 1)-QAM donde N es el nmero de bits/smbolo a la entrada del modulador. En otras palabras, la densidad de estrellas en la constelacin QAM se duplica, mantenindose la energa y los baudios. Esto en principio hace que el sistema sea ms sensible al ruido. Sin embargo, el BER (Bit Error Rate) definitivo es ms bajo a pesar de este hecho porque un cdigo de redundancia en un cdigo convolucional soluciona ms de un bit de error, en promedio.
• Evidntemente, esta solucin puede mejorarse si se usan cdigo convolucionales con mayor redundancia.

8 PAM (Pulse Amplitude Modulation)

• Cualquier seal limitada en banda puede representarse sin prdida prdida de informacin si se muestra a una frecuencia suficiente. Segn el teorema del muestreo uniforme, si W_m Hz es la mxima componente de la seal, bastan 2w_m muestras/segundo (frecuencia de Nyquist). Una seal PAM vale casi siempre 0, excepto en aquellos instantes de tiempo en los que se ha tomado una muestra. En estos puntos, la seal PAM tiene exctamente el mismo valor que la seal original en ese instante de tiempo.
• El requerimiento de ancho de banda de una seal PAM es el mismo que el de la seal original.
• PAM es la primera etapa de la digitalizacin de seales, que a continuacin realiza una cuantificacin en amplitud de los impulsos. El resultado del digitalizador es una secuencia PCM (Pulse Code Modulation).
  Original +-----+ PAM     +-----------+ PCM  
  -------->| PAM |-------->| Quantizer |------->  
  signal   +-----+ signal  +-----------+ signal

9 DSSS (Direct-Sequence Spread Spectrum)

• Based on ASK.
• Multiply the data being transmitted by a ”noise” signal. This noise signal is a pseudorandom (PseudoNoise: PN) sequence of 1 and -1 values, at a frequency much higher than that of the original signal.
• The resulting signal resembles white noise, like an audio recording of ”static”. However, this noise-like signal can be used to exactly reconstruct the original data at the receiving end, by multiplying it by the same pseudorandom sequence (because 1 x 1 = 1, and -1 x -1 = 1). This process, known as ”de-spreading”, mathematically constitutes a correlation of the transmitted PN sequence with the PN sequence that the receiver believes the transmitter is using.
• The main objective of DSSS is the resistance to intended or unintended jamming.
• Different transmitters can share the same medium if different PN sequences are used.

10 FHSS (Frequency-Hopping Spread Spectrum)

• Is the frequency version of DSSS.
• Spread-spectrum signals are difficult to intercept. A spread-spectrum signal may simply appear as an increase in the background noise to a narrowband receiver. An eavesdropper may have difficulty intercepting a transmission in real time if the pseudorandom sequence is not known.
• Method of transmitting radio signals by rapidly switching a carrier among many frequency channels, using a pseudorandom (PN) sequence known to both transmitter and receiver. Two transmitters can share the same medium if different PN sequences are used.

References