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1 Funcionalidad

• El an’alisis de Fourier se utiliza para representar una funci’on matem’atica en base a sus componentes de frecuencia senoidales.
• Para el caso pr’actico de las señales temporales, el an’alisis de Fourier sirve para expresar dichas señales en funci’on de las frecuencias que las conforman. Por tanto, al aplicar an’alisis de Fourier pasamos del dominio del tiempo al de la frecuencia.

2 La transformada de Fourier

• Representa una funci’on f(t) definida en el intervalo (−∞,∞), mediante otra funci’on (su transformada de Fourier) definida como

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  donde e^−jωt es la funci’on exponencial compleja. La funci’on F(ω) representa las amplitudes de las infinitas componentes espectrales de f(t) y se conoce como funci’on de densidad espectral.

• La transformaci’on inversa, la transformada inversa de Fourier, recupera f(t) a partir de su transformada, F(ω), mediante

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3 El espectro de Fourier

• Si la funci’on (o señal) F(ω) es la transformada (directa) de Fourier de la funci’on (o señal) f(t), lo que notaremos mediante entonces F(ω) representa las amplitudes relativas de las diferentes componentes exponenciales complejas. Ambas representaciones (la del tiempo f(t) y la de la frecuencia F(ω)) especifican de forma ’unica a la misma funci’on (o señal).
• Como ya sabemos (Eq. 1), en general F(ω) es compleja, es decir, su representaci’on m’odulo-argumento es donde |F(ω)| es el m’odulo o magnitud de F(ω) y se calcula como

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  y donde ϕ(ω) es el argumento o fase de F(ω) y se calcula como

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  siendo

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  Por tanto, en general se necesitan ambos diagramas (el m’odulo y la fase) para representar gr’aficamente a F(ω).

4 Señales limitadas en banda

• Cuando F(ω) queda definida en un intervalo de frecuencias finito, se dice que f(t) est’a limitada en banda.
• Los espectros de Fourier de todas las señales (en realidad de todas las funciones reales, que no son complejas, que no poseen parte imaginaria) est’an, por necesidad f’isica, limitadas en banda.
• Adem’as, los m’odulos de los espectros de Fourier de todas las señales son sim’etricos respecto de la componente de frecuencia 0.
• Esto significa que si ω_m es la m’axima componente de frecuencia de f(t), el m’odulo de su espectro de Fourier es de la forma mostrada en la Figura

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  Figure 1: M’odulo del espectro de Fourier de una señal.

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5 Ancho de banda usado por una señal digital

• Es evidente que las señales digitales generalmente no son peri’odicas. Sin embargo, y por suerte para nuestro an’alisis, la señal digital que mayores requerimientos de ancho de banda posee es aquella que representa a la secuencia de bits 010101, que s’i genera una señal peri’odica. A esta secuencia se la conoce por ello como la peor secuencia posible [1], porque genera la señal digital con periodo m’as corto y por tanto con la componente de frecuencia fundamental ω₀ m’as alta. N’otese que s’olo si la señal es peri’odica se puede hablar de frecuencia fundamental.
• Supongamos que nuestro sistema de representaci’on utiliza una amplitud de señal 1 para codificar un 1 y −1 para un 0. Bajo estas circunstancias, la Figura

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  Figure 2: Proceso de aproximaci’on a la peor secuencia posible.

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  2 muestra gr’aficamente c’omo ser’ia el proceso de aproximaci’on mediante la serie de Fourier para la señal digital que representa a la peor secuencia posible, que anal’iticamente consiste en

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• Como puede apreciarse, todas las componentes de frecuencia que son m’ultiplos pares de ω₀ (la frecuencia fundamental) son nulas, lo que genera un espectro de frecuencias disperso (no denso) caracter’istico de todas las señales peri’odicas. Esto se muestra gr’aficamente en la Figura

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  Figure 3: Espectro de frecuencias de la peor secuencia posible.

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  3 donde ω_n = 2πf_n es la n-’esima componente de frecuencia de s(t) expresada en radianes por segundo (f_n se mide por tanto en Hercios o Hz)¹ [2, 3].

6 Efecto de la tasa de bits en el espectro de una señal digital

• El precio que se paga por usar señales digitales (cuantificadas y discretizadas en el tiempo) es que la tasa de transferencia de informaci’on por intervalo de tiempo finito es una tasa finita. Esto significa que la señal digital debe conservar su valor durante un cierto intervalo de tiempo m’inimo que permita al receptor reconocer el bit (o bits) de informaci’on transportado(s).
• Desde el punto de vista del espectro de frecuencias de una señal digital, la reducci’on de dicho intervalo temporal implica una expansi’on en el dominio de la frecuencia de las diferentes componentes de frecuencia. N’otese que al aumentar ω₀ aumentan tambi’en, de forma proporcional, las ω_n.
• Por tanto, a mayor tasa de bits, proporcionalmente m’as ancho de banda es necesario para tranportar la señal digital.

References