Cuantiﬁcacion de senales

Cuantiﬁcación de señales

Juan Francisco Rodríguez Herrera
Vicente González Ruiz

September 12, 2016

Each pulse of an analog PAM signal $s (n T_{s})$ can take an inﬁnite number of states and this is impossible to handle using digital systems.

Quantizers discretize the amplitude of a PAM signal $s (n T_{s})$ , producing a loss of information, or adding to $s (n T_{s})$ the so named quantization noise or quantization error signal) $e (n T_{s})$ , deﬁned as
$s [n] = s (n T_{s}) + e (n T_{s}),$

where $s [n]$ is the quantized amplitude of the $n$ -th PAM sample.

In linear quantizers, the quantization error does not depends on the PAM sample value.
All quantizers are deﬁned with $d_{i}; i \in 𝒵$ (decision levels) and $r_{i}; i \in 𝒵$ (representation levels). In a linear quantizer, the quantization step $Z$ satisﬁes that
$Z = d_{i + 1} - d_{i} = r_{i + 1} - r_{i} .$ (1)

Notice that the number of representation/decision levels is inversely proportional to $Z$ , and viceversa.

La relación señal/ruido o SNR (Signal to Noise Ratio) mide la proporción relativa que existe entre la energía de la señal de datos y una determinada señal de ruido, que generalmente se suna a la señal.
En el contexto de la quantiﬁcación, la señal original (de datos) es $s (n T_{s})$ y la señal con ruido (de cuantiﬁcación) es $s [n] - s (n T_{s})$ . Por tanto, se deﬁne
$SNR = \frac{\sum_{n = 1}^{N} s {(n T_{s})}^{2}}{\sum_{n = 1}^{N} (s [n] - s (s T_{s}))^{2}},$ (2)

donde $N$ es el número de muestras tomadas.
El error de cuantiﬁcación promedio en un cuantiﬁcador lineal depende del paso de cuantiﬁcación y es igual a $Z ∕ 4$ ( $Z ∕ 2$ es el máximo y $0$ el mínimo). Por tanto,
$\bar{SNR} = \frac{\sum_{n = 1}^{N} s {(n T_{s})}^{2}}{\sum_{n = 1}^{N} {(Z ∕ 4)}^{2}} = \frac{\sum_{n = 1}^{N} s {(n T_{s})}^{2}}{N \frac{Z^{2}}{16}} .$
Como se puede apreciar de esta expresión, la relación señal/ruido promedio es directamente proporcional a la inversa del paso de cuantiﬁcación elevado a cuadrado, es decir,
$\bar{SNR} \sim \frac{1}{Z^{2}} .$
Si usamos PCM (Puse Code Modulation)¹ para representar las muestras cuantiﬁcadas $s [n]$ , se cumple
$Z \sim \frac{1}{2^{b}},$

donde $b$ es el número de bits utilizados para representar los niveles de representación. Es decir, a mayor número de bits, menor paso de cuantiﬁcación.
Por tanto,
$\bar{SNR} \sim {(2^{b})}^{2} = 2^{2 b} .$

Finalmente, “tomando Decibelios”,

\bar{{SNR}_{dB}} \sim 10 {log}_{10} 2^{2 b} = 20 b {log}_{10} 2 \approx 6 b dB .

Este resultado es interesante porque indica que, en un sistema PCM, con cada bit de precisión mejoramos la calidad de la señal digitalizada en un factor de $6$ dB. Si consideramos que para alcanzar una calidad HiFi (High Fidelity) en audio debemos conseguir $96$ dB de relación señal/ruido, deberemos usar $\frac{96}{6} = 16 bits/muestra,$
<valor que coincide con la resolución usada en los CDs de audio!

Existen casos donde es más importante dedicar una mayor atención a un determinado rango de la señal a cuantiﬁcar. Por ejemplo, es conocido que el SAH (Sistema Auditivo Humano) es más sensible a las bajas intensidades de sonido. Por tanto, podemos diseñar un cuantiﬁcador teniendo en cuenta esta característica y obtendremos para una misma tasa de bits, una calidad subjetiva mayor.
Subjetivamente hablando, se dice que un cuantiﬁcador logarítmico de 8 bits aporta apoximadamente la misma calidad que un cuantiﬁcador lineal de 16 bits. Por esto, la cuantiﬁcación logarítmica se utiliza intensivamente en telefonía.

Un cuantiﬁcador de Max-LLoyd se basa en la distribución estadística de los valores de las muestras, cuantiﬁcando con mayor precisión aquellas que son más frecuentes. De esta forma se minimiza el error de cuantiﬁcación.
Por ejemplo, si las muestras siguen una distribución de Laplace (curva en rojo), el cuantiﬁcador de Max-LLoyd asociado sería el siguiente.

Todos los cuantiﬁcadores anteriormente presentados cuantiﬁcan cada muestra de forma independiente a las demás. Por este motivo se dice que son cuantiﬁcadores escalares o cuantiﬁcadores de orden 0.
Cuando existe correlación entre las muestras, es más eﬁciente codiﬁcar parejas, ternas, ... en general $n$ -tuplas de muestras vecinas (en deﬁnitiva, un vector) mediante un único nivel de representación. Cuando esto ocurre se dice que la cuantiﬁcación es vectorial o que el cuantiﬁcador es de orden $n$ .
VQ (Vector Quantization) es muy usada para comprimir señales. A continuación se muestra un ejemplo (muy simple) de compresión de una imagen:

Un cuantiﬁcador vectorial permite alcanzar tasas de compresión muy altas. Por ejemplo, si en la anterior ﬁgura cada bloque es de 32x32 pixels y suponemos 1 byte/pixel, cada bloque necesita 1024 bytes en la imagen original. Sin contar con el code-book (que ocupa sólo 8*1024 bytes), un bloque en la imagen comprimida se representa con 3 bits. Por lo tanto, la tasa de compresión ha sido 1024*8:3.

En un CD se utilizan $16$ bits/muestra y 2 canales de muestras.
El resto de formatos de audio comprimidos, tales como Vorbis, MP3, Dolby Digital o DTS, no poseen un número de bits/muestra en concreto porque dicho valor depende de la tasa de compresión (que puede ser variable). Sin embargo, inicialmente las muestras antes de ser comprimidas se representan típicamente con 16, 24 o 32 bits/muestra, y casi siempre se utiliza un cuantiﬁcador lineal.
- En MPEG-1 audio se utilizan originalmente $16$ bits/muestra.
- En Dolby Digital (Dolby AC-3) se utilizan $24$ bits/muestra, en cada uno de los $6$ canales (5.1).
- En DTS, $24$ bits/muestra.
En MPEG-1 vídeo (como en casi todos los demás formatos de vídeo digitales comprimidos) se utilizan originalmente $8$ bits/componente de color.