mediante la combinación lineal (stf)
(stf) |
donde
es la componente de frecuencia fundamental expresada en radianes por segundo y , y son los coeficientes la serie trigonométrica de Fourier.
Tal y como se acaba de definir, dicho intervalo es igual al periodo de la componente de frecuencia más baja que existe en la señal.
(an) |
(bn) |
siendo
que como podemos apreciar es el valor medio de en el intervalo . Se dice que es la componente de corriente directa o DC (Direct Current) de en dicho intervalo.
las Ecuaciones an y bn también se pueden reescribir de la forma (anOK)
(anOK) |
y (bnOK)
(bnOK) |
(defs_Fes) |
siendo .
Si sustituimos dichas definiciones en la Ecuación stf, obtenemos que
Multiplicando llegamos a que
Operando
Aplicando ahora los cambios trigonométricos (e_sin_cos)
(e_sin_cos) |
en la anterior expresión obtenemos que
Operando con el signo de la variable y deshaciendo parcialmente la sumatoria llegamos a que
Finalmente, juntando las dos sumatorias y el término que quedaba fuera nos queda que (Fes)
(Fes) |
(F_n) |
(F_n_OK) |
donde recordemos, . Dicho resultado implica que las Expresiones stf y Fes (ambas series) son válidas para todo el intervalo cuando es periódica.
siendo y el perido de dicha función. Por tanto, disponemos de dos representaciones equivalentes de una misma función: la del dominio del tiempo y la del dominio de la frecuencia.
y las correspondientes amplitudes del espectro complejo1
Puesto que dichas magnitudes son complejas, se las puede describir también en función de su magnitud (o módulo) y fase.
es decir, que deja de ser periódica sólo cuando su periodo tiende a infinito. Por ser periódica existe su serie exponencial de Fourier que es de la forma (fT) (véase la Expresión Fes)
(fT) |
donde los coeficientes de Fourier (usando la Expresión F_n_OK) son (Fn2)
(Fn2) |
con lo que las Ecuaciones fT y Fn2 quedan como
y
Como es función de , también haremos el cambio de notación
con lo que estas ecuaciones se escriben como
y
Por último, sea por definición
con lo que las Ecuaciones fT y Fn2 finalmente quedan como (fT2)
(fT2) |
y (Fn3)
(Fn3) |
(recuérdese que el rango de integración es ahora ).
(fT3) |
Como ya hemos indicado, cuando , , y existe un número infinito de términos . Por tanto, la suma discreta de la Equación fT3 se convierte en una integral (con lo que desaparecen los subíndices sobre ) y debe representarse por . Así, la Ecuación fT3 queda como (iFt)
(iFt) |
(Ft) |
entonces representa las amplitudes relativas de las diferentes componentes exponenciales complejas. Ambas representaciones (la del tiempo y la de la frecuencia ) especifican de forma única a la misma función (o señal).
donde es el módulo o magnitud de y se calcula como
y donde es el argumento o fase de y se calcula como
siendo
Por tanto, en general se necesitan ambos diagramas (el módulo y la fase) para representar gráficamente a .
y como consecuencia
es decir, el módulo del espectro de es simétrico respecto de la frecuencia .
Determínese su espectro de Fourier.
se llama función muestreo y es muy importante en la Teoría de la Comunicación de Señales porque, como veremos, es la función que usan los convertidores Digital/Analogic para pasar la señal digitalizada desde de la modulación por impulsos a su representación continua original [1].
Nótese que si si entonces el espectro tiende a convertirse en un impulso en y si entonces el espectro tiende a convertirse en una función constante.