El Teorema de Pappus

Curso Interactivo sobre Geometría Descriptiva

En las construcciones geométricas que siguen, denotaremos puntos por letras mayúsculas y las rectas por letras minúsculas. El símbolo $AB$denota la recta que pasa por los puntos $A$y $B$, mientras $a\cdot b$denota el punto de intersección de las rectas $a$y $b$.

Teorema 0.1 (Pappus)   Dibujemos dos líneas sobre el plano proyectivo y tres puntos sobre cada recta. Denotemos los puntos sobre la primera recta por $A,B,C$y los puntos sobre la segunda recta por $A',B',C'$. Dibujemos las rectas que unen puntos denotados por letras diferentes (esto es, no dibujamos las rectas $AA'$, $BB'$o $CC'$). Los puntos $AB'\cdot BA'$, $AC'\cdot CA'$y $BC'\cdot CB'$son colineales.

 

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La demostración se da en los siguientes dos ejercicios, el primero da la versión afín del teorema.

Ejercicio 0.1 (10)   Dibujemos dos rectas sobre el plano y dibujemos los puntos $A,B,C$sobre la primera recta, y los puntos $A',B',C'$sobre la segunda recta tal que $AB'$es paralelo a $BA'$y $BC'$es paralelo a $CB'$. Probar que necesariamente $AC'$es paralelo a $CA'$.

 

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Ahora viene la reducción del resultado proyectivo al resultado afín.

Ejercicio 0.2 (10)   Sea $\mathcal{T}$cualquier transformación proyectiva que envía los puntos $AB'\cdot BA'$y $BC'\cdot CB'$al infinito. Aplicar $\mathcal{T}$a los puntos y rectas en la configuración del teorema 0.1 y comprobar que la nueva configuración es igual que la del ejercicio anterior.

Usar esto para demostrar el teorema de Pappus.