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Geometría en dos dimensiones

Sabemos que una métrica euclídea o producto vectorial en un espacio vectorial real, no es sino una forma cuadrática no degenerada y definida positiva.

La forma de introducir una métrica en el espacio afín (visto como un subconjunto del espacio proyectivo) consiste en dar una forma cuadrática no degenerada y definida positiva en el hiperplano del infinito. O equivalentemente una hipercuádrica irreducible imaginaria.

En el caso bidimensional basta escoger dos puntos $I$ y $J$ complejos conjugados que se llamarán puntos absolutos.

A partir de estas consideraciones aparecen las siguientes definiciones.

Definición 3.1   Las rectas que pasando por un punto afín $P$ pasan por $I$ y $J$ se llaman rectas de isotropía de $P$. Si $P$ es real las rectas de isotropía son complejas conjugadas.

Definición 3.2   Dos rectas se dicen perpendiculares si son armónicas con respecto a las rectas de isotropía. O equivalentemente si los puntos de corte y los puntos absolutos forman una cuaterna armónica. Véase ejercicio 3.5.

Definición 3.3   Sean $a$ y $b$ dos rectas distintas de la recta del infinito y sean $j$ y $j'$ las rectas de isotropía que pasan por el punto de intersección $a\cdot b$. Llamamos ángulo modular $m(a,b)$ a la razón doble de $a$, $b$, $j$, $j'$ es decir:

$$m(a,b)=[a,b,j,j']$$

Donde se ha fijado desde el principio el orden los puntos $I$, $J$.

Ejercicio 3.4 (00)   ¿Qué sucede con el valor de ángulo modular cuando cambiamos el orden de $I$y $J$?

Ejercicio 3.5 (00)   Probar que el ángulo modular tiene las siguientes propiedades:

1.    $m(a,b)\cdot m(b,a)=1$.

2.    Si $a$ y $b$ son perpendiculares entonces $m(a,b)=m(b,a)=-1$. El recíproco también se tiene.

3.    Si $a$, $b$, $c$ son rectas concurrentes $m(a,b)\cdot m(b,c)=m(a,c)$.

4.    $m(a,b)=1$ si y sólo si $a$ y $b$ coinciden.

Damos a continuación la fórmula de Laguerre que nos permite pasar de la definición del ángulo modular a la que hemos conocido desde el colegio.

$$\alpha=\frac{1}{2i}log[a,b,j,j']$$

Por último decir que un sistema de coordenadas en el espacio afín es ortogonal si las coordenadas homogéneas de $I$ y $J$ son $(1,i,0)$  y $(1,-i,0)$.

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