El Teorema de Pascal

Curso Interactivo sobre Geometría Descriptiva

Ya que cinco puntos determinan una cónica, seis puntos no pueden estar sobre la misma cónica a no ser que satisfagan alguna condición especial. Esta condición, descubierta por el matemático y el filósofo Blaise Pascal, es uno de los resultados más antiguos y bonitos de la geometría proyectiva.

Teorema 0.1 (Pascal) Los seis vértices de un hexágono están sobre una cónica si y sólo si los tres puntos obtenidos cortando los tres pares de lados enfrentados son colineales (fig 1).

 

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Figura 1.

 

Los dos siguientes ejercicios demuestran que si los seis vértices de un hexágono están sobre una cónica los tres puntos obtenidos al cortar los tres pares de lados enfrentados son colineales. La prueba del recíproco emplea las mismas ideas y se deja para el lector como un ejercicio menos estructurado.

Considere la transformación $ f$que lleva los puntos de la recta $ ED$a los puntos de la recta $ EF$que se define por la siguiente construcción (fig 2):

  1. Dado$ X \in ED$, dibujamos la recta$ AX$.
  2. Sea $ ' $ el segundo punto de intersección de la recta $ AX$y la cónica.
  3. Dibujamos la recta $ CA ' $.
  4. Sea $ Y: = f (X) $ el punto $ EF \cdot CA ' $.

 

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Figura 2.

 

Ejercicio  0.1 (05) Demostrar que la transformación $ f$es una perspectividad.

Ejercicio 0.2 (05) Probar que F de $ (P) = R$ y que el centro de perspectiva es $ Q$. Comprobar que esto demuestra la primera parte del teorema de Pascal.

Ejercicio 0.3 (10) Probar que si los tres puntos obtenidos al cortar los tres pares de lados enfrentados de un hexágono son colineales, sus vértices están en una cónica.

El dual del teorema de Pascal es el siguiente resultado descubierto por Brianchon.

Teorema 0.2 (Brianchon) los seis lados de un hexágono son las tangentes a una cónica si y sólo si las tres líneas obtenidas uniendo los tres pares de vértices enfrentados son concurrentes (fig 3).

 

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Figura 3.